Космолог вычислил идеальную рассадку гребцов в лодке

Кембриджский профессор вычислил, как рассадить академических гребцов так, чтобы лодка не виляла в стороны. Два варианта уже принесли своим первооткрывателям золотые медали. Еще два спортивному миру, похоже, не известны.

Английский космолог и математик Джон Барроу получил свою докторскую степень в Оксфордском университете, а родился и вырос в Лондоне, на берегах Темзы, где уже почти два века проводится знаменитая гребная регата между командами Кембриджа и Оксфорда. Этого уже, кажется, достаточно, чтобы всерьез заинтересоваться академической греблей. Но Барроу, получивший три года назад миллион фунтов Темплтоновской премии, не из тех, кто скор на суждения.

Лишь через десять лет после того, как он стал профессором в знаменитом кембриджском Департаменте прикладной математики и теоретической физики (DAMTP), ученый попробовал приложить свои силы к веслам. И не разочаровал – Барроу не только смог сформулировать задачу об идеальной рассадке гребцов в лодке, но и нашел такие ее решения, которые прежде не были известны в мире спорта. Не давший Барроу профессорской кафедры Оксфорд наверняка теперь кусает локти.

Не увиливай

В распашной академической гребле несколько пар спортсменов садятся в лодку друг за другом и гребут каждый одним веслом – половина гребцов с правого борта лодки, половина – с левого. Весла в воду они опускают синхронно, дабы лодка не виляла из стороны в сторону, разбрасываясь драгоценными сотыми долями секунды и десятыми долями корпуса лодки. Традиционная рассадка гребцов – поочередная, при которой за гребцом по левому борту сидит гребец по правому, за ним – снова по левому и так до конца.

Конечно, выправить ход несложно чуть более сильным гребком или поворотом руля. Но ведь по сути все такие действия – это удлинение дистанции, лишняя работа для рулевого и нервы зрителей. Барроу задался вопросом – можно ли рассадить гребцов так, чтобы это виляние из стороны в сторону было минимальным, а если возможно – так и вовсе свести его к нулю?

Ответ на вопрос ученый решил найти для идеализированного случая лодки без рулевого-тренера (это тот человечек на корме, который так забавно кричит во время соревнований) и в предположении, что все гребцы с одной и той же силой и техникой упираются в тяжелые весла. Кроме того, Барроу принял, что все гребцы сидят на одном и том же расстоянии друг от друга, а лодка сбалансирована – то есть, число «левых» и «правых» гребцов одинаково, как и принято в академической гребле.

Упростить нетривиально

После таких упрощений задачу становится очень просто сформулировать математически. Виляния возникают из-за того, что на лодку действует ненулевой момент силы. Момент сил, вращающих лодку, равен сумме моментов от каждого из гребцов. А каждый из них, в свою очередь, равен произведению компоненты силы, перпендикулярной оси лодки, к расстоянию до некоторой точки вдоль этой оси (какой именно точки -- для сбалансированной лодки не важно: Барроу выбрал нос).

В итоге моменты от левых гребцов входят в сумму с одним знаком, моменты от правых – с другим, и чем дальше от носа находится гребец, тем больше его вклад (если вместо носа выбрать корму, вклад будет расти в обратную сторону, но ответ от этого не изменится). Надо подобрать равное число знаков «минус» и «плюс» (гребцов справа и слева одинаковое число) к ряду последовательных натуральных чисел, чтобы в сумме получился ноль:

1±2±3±4±…±2N=0

Кажется, совершенно несложная проблема и простой способ переформулировать ее в математическом виде. Между тем отсюда сразу следует пара простых выводов.

Первый вывод – классическая рассадка восьмерок (П-Л-П-Л-П-Л-П-Л), несмотря на всю свою внешнюю «симметричность», оптимальной не является: достаточно простой арифметики, чтобы понять, что 1-2+3-4+5-6+7-8 равно не нулю, а -4. Второй вывод менее тривиален: оптимальными могут быть только те сбалансированные лодки, в которых число гребцов кратно 4 – четверки, восьмерки и так далее. А вот двойки или шестерки обречены на виляния по воде.

Новые решения

Ну а дальше математик Барроу по привычке свел поиск оптимальных рассадок к одной из классических комбинаторных проблем. Это так называемая задача об упаковке рюкзака, точнее – одна из ее разновидностей, в которой требуется выбрать из набора целых чисел все подмножества, сумма которых равна заданному числу. Как пишет Барроу, эта задача из класса NP, и время ее решения (подчеркнем, что речь идет о поиске всех оптимальных рассадок) очень быстро растет с количеством гребцов в лодке (как O(n2ⁿ)).

Растет с количеством гребцов и число этих оптимальных решений. Например, для четверок есть лишь одна оптимальная рассадка – (П-Л-Л-П или Л-П-П-Л). Первыми до нее полвека назад додумались члены итальянской сборной по академической гребле – и через год завоевали «золото» на Олимпиаде в Мельбурне 1956 года.

В случае с восьмерками оптимальных решений четыре. Как мы уже знаем, классическая рассадка в их число не входит. Два других решения – это удвоенная «итальянская» рассадка (П-Л-Л-П-П-Л-Л-П) и «немецкая» рассадка (П-Л-П-Л-Л-П-Л-П), которая также принесла своему первооткрывателю, немецкому тренеру Карлу Адаму, несколько золотых медалей.

Еще два решения спортивному миру, похоже, не известны, пишет Барроу. Впрочем, одна из них – это удвоенная итальянская рассадка с переворотом (П-Л-Л-П-Л-П-П-Л). А вот вторая – совсем новая (П-П-Л-Л-Л-Л-П-П).

Дальше число вариантов быстро растет. Для лодок с 12 гребцами оптимальных рассадок 29, для 16 гребцов – 263, а для 20 гребцов – 2724 варианта. При этом в последних двух случаях ученому придется поверить на слово: приводить решения на страницах статьи, доступной в Архиве электронных препринтов Корнельского университета, Барроу не стал. Там же он рассмотрел и несколько оптимальных решений для несбалансированных лодок, с двух бортов которых свешивается неравное число весел.

Для кружка

Конечно, ситуация, которую рассмотрел Барроу, возможна только в идеале. На настоящих лодках есть рулевой, весла работают не синхронно, а гребцы различаются и силой, и умением. Но другого и не стоило ожидать – ученый все время доказывает, что ситуации, к которым применима наука, всегда идеализированы и совсем не похожи на реальный мир. А вместе с тем занятия наукой не лишены смысла.

С другой стороны, «оптимальные» рассадки, как только вошли в спортивный обиход, почти сразу принесли своим первооткрывателям золотые медали. Чем не доказательство связи с реальным миром? В любом случае для школьных математических кружков появилась новая интересная задача.